Thomas Bayes was een wiskundige, een presbyteriaanse predikant en een verdediger van Sir Isaac Newton. Tegenwoordig wordt hij door statistici over de hele wereld gevierd vanwege een document dat twee jaar na zijn dood is vrijgegeven.

Bayes stierf op 7 april 1761. Zoals bepaald in het testament van de Engelsman, kreeg een vriend en collega genaamd Richard Price zijn ongepubliceerde aantekeningen. Deze omvatten een gedeeltelijk essay over een onderwerp dat ons altijd bezighoudt:waarschijnlijkheid.

Onder de indruk en geïntrigeerd liet Price in 1763 een bewerkte versie publiceren onder de titel:"Een essay op weg naar het oplossen van een probleem in de doctrine van het toeval."

Hier werd de basis gelegd voor wat we nu de stelling van Bayes (of de ‘regel van Bayes’) noemen, een van de meest versleten instrumenten in de moderne statistiek.

1. Kansen en eindpunten
2. Waar of niet waar?
3. "Paging Doctor Bayes!"
4. Buiten het laboratorium

Kansen en uiteinden

“De regel van Bayes wordt tegenwoordig op talloze manieren gebruikt. Het geeft je een hulpmiddel om helder na te denken over onzekerheid (waar decennia van cognitief wetenschappelijk onderzoek hebben aangetoond dat we er niet bijzonder goed in zijn)”, zegt Chris Wiggins, universitair hoofddocent van Columbia University. toegepaste wiskunde, in een e-mailinterview.

De werkelijke vergelijking wordt hierboven weergegeven. In een notendop is het doel van deze formule om te bepalen wat de waarschijnlijkheid is van "A", gegeven dat "B" al is gebeurd of waargenomen.

Om dit te doen, moeten we de volgende stappen ondernemen:

1. Keer het script om:stel de waarschijnlijkheid van "B" vast, gegeven het feit dat "A" al is gebeurd/geobserveerd.
2. Vermenigvuldig dat met de algemene waarschijnlijkheid van 'A.'
3. Deel het resulterende getal door de algemene waarschijnlijkheid van 'B.'

Voorwaardelijke waarschijnlijkheid vormt de kern van de stelling van Bayes. De wereld is een ingewikkelde plek. Wanneer we proberen de kansen te bepalen dat iets specifieks zal gebeuren, moeten we soms onze berekeningen herzien vanwege nieuwe informatie, nieuwe ontwikkelingen en reeds bestaande gegevens.

Voer de stelling in. Of je nu een astrofysicus bent die de ouderdom van het universum bestudeert of een natuurbioloog die populatieschattingen maakt voor een zelden waargenomen soort, de stelling van Bayes kan je helpen je kijk en wereldbeeld langs deze voorwaardelijke lijnen bij te werken.

Nu we enkele basisprincipes kennen, gaan we de formule van meneer Bayes eens uitproberen.

Waar of niet waar?

Medische professionals weten dat ze moeten oppassen voor valse positieven.

Als een test je vertelt dat iets aanwezig is terwijl het feitelijk afwezig is, is dat een vals-positief, amigo. De herdersjongen riep wolf, maar hij zag er niet echt een.

Echt positieve punten zijn testresultaten die overeenkomen met de werkelijkheid. Dat krijg je als een test een aandoening aan het licht brengt die werkelijk bestaat. In dit scenario bestaat de wolf dus echt en sprak de herdersjongen de waarheid.

"De stelling van Bayes kan inzicht verschaffen in de prestaties van diagnostische tests", legt biostatisticus Lance Waller van Emory University uit in een recente e-mailuitwisseling.

"Als we naar de kliniek gaan en ons laten testen, willen we weten hoe waarschijnlijk het is dat ik ziek ben gegeven de test positief is. "

"Paging Dokter Bayes!"

Om uit te leggen hoe Thomas Bayes in het gesprek over valse positieven in medische tests past, heeft Waller een nuttige hypothese. Kijk nog eens naar onze gedrukte formule. Zie je de As en de B's? Nu is het tijd om die letters te vervangen door iets minder abstracts.

"Stel dat we een test toepassen die een kans van 1 op 100 heeft om een ​​vals-positief resultaat te geven aan een gezond persoon, en diezelfde test heeft een kans van 99 op 100 om een ​​echt positief resultaat te geven aan een zieke persoon", zegt Waller. /P>

“Als we deze test toepassen op 100 gezonde mensen en 100 zieke mensen, zouden we 1 vals-positief en 99 terecht-positieven verwachten. Als we dezelfde test zouden geven aan 100.000 gezonde mensen en 100 zieke mensen, zouden we 1.000 vals-positieven en 99 waar-positieven verwachten. positieven. De meeste van onze positieve testresultaten zouden vals zijn."

'De stelling van Bayes', vertelt Waller, 'definieert hoe de verhoudingen van de geteste mensen die ziek en gezond zijn, de kans op een positieve test veranderen. gegeven een gezond persoon met de waarschijnlijkheid van een gezond persoon een positieve test gekregen ."

Buiten het Laboratorium

De stelling leidde tot de Bayesiaanse statistiek, een bredere benadering van wiskunde en waarschijnlijkheid.

Deze denkrichting heeft in de loop der jaren veel kritiek gehad. Toch heeft de geschiedenis aangetoond dat er plaats is voor het Bayesiaanse denken. Zoals Wiggins opmerkt, gebruiken wiskundigen nu andere computerhulpmiddelen – en zoeken ze naar andere soorten gegevens – dan voorgaande generaties.

"Soms gebruiken we gegevens om de wereld wetenschappelijk te beschrijven zoals die is; soms om voorspellingen te doen over een bepaalde uitkomst; en soms om de behandeling voor te schrijven die een uitkomst zal optimaliseren", zegt Wiggins. "Het is dan ook geen verrassing dat de normen over wat een goed model of een goede modelleringspraktijk is, ook vooruit zijn gegaan."

In onze computergestuurde cultuur zijn Bayesiaanse methoden overal om ons heen aanwezig. Denk eens aan elektronische post. Sommige e-mailfilters gebruiken de stelling van Bayes om de kans te berekenen dat een individueel bericht ongewenste spam is, gezien de woordkeuze.

Of kijk hoe de Amerikaanse kustwacht in 2014 voor veel opschudding zorgde toen een van haar computerprogramma's leidde tot de redding van een vermiste visser. Zoals je misschien al geraden had, klaarde dat programma de klus met de stelling van Bayes.

“Een Bayesiaanse analyse uitvoeren betekent niet altijd een betere analyse”, merkt Waller op. "[Maar] aangezien Bayesiaanse methoden gedetailleerde wiskundige definities vereisen, biedt een Bayesiaanse analyse vaak de flexibiliteit om zich aan te passen aan een breder scala aan toepassingen dan traditionele benaderingen."

HowStuffWorks kan een kleine commissie verdienen via partnerlinks in dit artikel.

Net als Thomas Bayes was Richard Price een praktiserend predikant, en bovendien met goede connecties. Hij ontmoette persoonlijk mensen als Benjamin Franklin, Thomas Jefferson, John Adams en Thomas Paine. Ook Mary Wollstonecraft – een baanbrekende feministe en de moeder van ‘Frankenstein’-bedenker Mary Wollstonecraft Shelley – was een van zijn leerlingen.

Veel beantwoorde vragen

Waar wordt de Bayes-formule voor gebruikt?