De verjaardagsparadox stelt dat in een groep van 23 of meer mensen de kans dat twee of meer mensen dezelfde verjaardag delen meer dan 50% is. Dit schijnbaar contra-intuïtieve resultaat is gebaseerd op het feit dat het aantal mogelijke paren van mensen in een groep veel sneller groeit dan het aantal dagen in een jaar.

De waarschijnlijkheid berekenen

Om de waarschijnlijkheid te berekenen dat twee of meer mensen dezelfde verjaardag delen in een groep van n mensen, kunnen we de volgende formule gebruiken:

$$P(minstens\ één\ gedeelde\ verjaardag) =1 - P(geen\ gedeelde\ verjaardagen)$$

waar:

- \(P(minstens\ één\ gedeelde\ verjaardag)\) is de kans dat ten minste twee mensen in de groep dezelfde verjaardag delen.

- \(P(geen\ gedeelde\ verjaardagen)\) is de kans dat geen twee mensen in de groep dezelfde verjaardag delen.

Om \(P(no\ shared\ birthdays)\) te berekenen, kunnen we de volgende formule gebruiken:

$$P(geen\ gedeelde\ verjaardagen) =\frac{365!}{365^n \cdot (365-n)!}$$

waar:

- \(365\) is het aantal dagen in een jaar.

- \(n\) is het aantal mensen in de groep.

Als we bijvoorbeeld een groep van 23 mensen hebben, is de kans dat twee of meer mensen dezelfde verjaardag delen:

$$P(minstens\ één\ gedeelde\ verjaardag) =1 - P(geen\ gedeelde\ verjaardagen)$$

$$=1 - \frac{365!}{365^{23} \cdot (365-23)!}$$

$$=1 - 0,4927=0,5073$$

Daarom is de kans dat twee of meer mensen dezelfde verjaardag delen in een groep van 23 of meer mensen meer dan 50%.

Het verrassingselement

De verjaardagsparadox wordt vaak aangehaald als voorbeeld van een contra-intuïtief waarschijnlijkheidsverschijnsel, en kan worden gebruikt om het belang te illustreren van het begrijpen van de onderliggende wiskunde voordat conclusies uit gegevens worden getrokken. Het belicht ook de verrassende manieren waarop schijnbaar ongerelateerde gebeurtenissen met elkaar in verband kunnen worden gebracht.