Wanneer u een matrix in een wiskunde- of natuurkundeles wordt gepresenteerd, wordt u vaak gevraagd om de eigenwaarden te vinden. Als je niet zeker weet wat dat betekent of hoe je het moet doen, is de taak ontmoedigend en er zijn veel verwarrende terminologieën bij die de zaken nog erger maken. Het proces van het berekenen van eigenwaarden is echter niet al te uitdagend als u vertrouwd bent met het oplossen van kwadratische (of polynoom) vergelijkingen, op voorwaarde dat u de basis leert van matrices, eigenwaarden en eigenvectoren.
Matrices, eigenwaarden en eigenvectoren: wat ze betekenen

Matrices zijn reeksen getallen waarbij A staat voor de naam van een generieke matrix, zoals deze:

(
1 3)

A
\u003d (4 2)

De getallen in elke positie variëren en er kunnen zelfs algebraïsche uitdrukkingen op hun plaats staan. Dit is een 2 × 2-matrix, maar ze zijn er in verschillende groottes en hebben niet altijd evenveel rijen en kolommen.

Omgaan met matrices is anders dan omgaan met gewone getallen, en er zijn specifieke regels voor het vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken van elkaar. De termen "eigenwaarde" en "eigenvector" worden in matrixalgebra gebruikt om te verwijzen naar twee karakteristieke grootheden met betrekking tot de matrix. Dit probleem met de eigenwaarde helpt u te begrijpen wat de term betekent:

A
∙ v \u003d λ ∙ v

A is een algemene matrix zoals eerder, v is een vector, en λ is een karakteristieke waarde. Bekijk de vergelijking en merk op dat wanneer u de matrix vermenigvuldigt met de vector v, het effect is dat dezelfde vector wordt gerepliceerd die zojuist is vermenigvuldigd met de waarde λ. Dit is ongebruikelijk gedrag en verdient de speciale namen vector v en hoeveelheid λ: de eigenvector en de eigenwaarde. Dit zijn karakteristieke waarden van de matrix omdat het vermenigvuldigen van de matrix met de eigenvector de vector ongewijzigd laat, behalve vermenigvuldiging met een factor van de eigenwaarde.
Hoe eigenwaarden te berekenen

Als u het probleem met de eigenwaarde hebt voor de matrix in een bepaalde vorm is het gemakkelijk om de eigenwaarde te vinden (omdat het resultaat een vector is die hetzelfde is als de originele, behalve vermenigvuldigd met een constante factor - de eigenwaarde). Het antwoord wordt gevonden door de karakteristieke vergelijking van de matrix op te lossen:

det (A - λ I
) \u003d 0

Waar I de identiteitsmatrix is, die leeg is behalve een reeks van 1'en die diagonaal door de matrix lopen. "Det" verwijst naar de determinant van de matrix, die voor een algemene matrix:

(ab)

A
\u003d (cd)

gegeven door

det A \u003d ad –bc

De karakteristieke vergelijking betekent dus:

(a - λ b)

det (A - λ < b> I
) \u003d (cd - λ) \u003d (a - λ) (d - λ) - bc \u003d 0

Laten we als voorbeeldmatrix A definiëren als:

(0 1)

A
\u003d (−2 −3)

Dus dat betekent:

det (A - λ I
) \u003d (0 - λ) (- 3 - λ) - (1 × −2) \u003d 0

\u003d −λ (−3 - λ) + 2

\u003d λ < sup> 2 + 3 λ + 2 \u003d 0

De oplossingen voor λ zijn de eigenwaarden, en u lost dit op zoals elke kwadratische vergelijking. De oplossingen zijn λ \u003d - 1 en λ \u003d - 2.

Tips