Jacob Ammentorp Lund/iStock/GettyImages

Terwijl het concept van eigenwaarden Het kan abstract lijken, maar het is een onmisbaar hulpmiddel voor wiskundigen, natuurkundigen en ingenieurs die complexe systemen aanpakken. Door te identificeren hoe bepaalde transformaties vectoren schalen, onthullen eigenwaarden intrinsieke eigenschappen van matrices en operatoren.

Wat is een eigenfunctie?

Stel je een functie voor, bijvoorbeeld y =x² + 6x of y = —dat, na het toepassen van een bepaalde bewerking, eenvoudigweg de oorspronkelijke functie wordt, vermenigvuldigd met een constante. Die functie is een eigenfunctie , en de constante is de eigenwaarde .

• 'Eigen' komt uit het Duits en betekent 'hetzelfde' of 'identiek'.

Om eigenwaarden effectief te berekenen, is een goed begrip van matrixalgebra essentieel. Deze technieken liggen ten grondslag aan veel wetenschappelijke toepassingen, zoals het bepalen van de bindingsvolgorde in moleculen zoals NO₂, waarbij elektronische golffuncties zich gedragen als eigenfuncties.

Matrices begrijpen

Een matrix is een rechthoekige reeks getallen, gerangschikt in rijen en kolommen. Het wordt gewoonlijk beschreven aan de hand van de afmetingen, bijvoorbeeld een matrix van 2 bij 3:

\(\begin{bmatrix}
3 &0 &4
1 &3 &5
\end{bmatrix}\)

Alleen matrices met identieke afmetingen kunnen elementair worden opgeteld of vermenigvuldigd. Een matrix kan ook op een vector inwerken:een 1‑bij‑n of n -by‑1 array:produceert nog een vector.

De eigenwaardevergelijking

Voor een vierkante matrix A (grootte n ×n ), een vector niet-nul v (grootte n ×1), en een scalaire λ , de relatie\(\mathbf{A}\mathbf{v} =\lambda\mathbf{v}\) geldt als λ is een eigenwaarde van A . Hier, A is een lineaire transformatie die, wanneer toegepast op v , schaalt het met λ .

Waarom eigenwaarden ertoe doen

In de kwantummechanica beschrijft de Hamiltoniaanse operator \(\hat{H}\) de kinetische en potentiële energie van een systeem:\(\hat{H} =-\frac{\hbar}{2m}\nabla^2 + \hat{V}(x,y,z)\)

De Schrödingervergelijking\(\hat{H}\psi(x,y,z) =E\psi(x,y,z)\) is een eigenwaardeprobleem waarbij de energieniveaus E zijn de eigenwaarden. Deze waarden bepalen waarneembare eigenschappen van atomen en moleculen.

Eigenwaarden stap voor stap vinden

Beginnend met \(\mathbf{A}\mathbf{v} =\lambda\mathbf{v}\), herschikken naar:\(\mathbf{A}\mathbf{v} - \lambda\mathbf{v} =0\)wat wordt\(\bigl(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}\bigr)\mathbf{v} =0\).Voor een vector niet-nul v om te bestaan moet de matrix \(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}\) singulier zijn, wat betekent dat de determinant gelijk is aan nul:\(|\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}| =0\). Het oplossen van deze karakteristieke vergelijking levert de eigenwaarden op. Hoewel het met de hand oplossen bij grote matrices omslachtig kan zijn, kunnen veel computerhulpmiddelen de algebra efficiënt verwerken.

Bijvoorbeeld bij het vermenigvuldigen van twee 2-bij-2-matrices A en B , wordt elk element van het product berekend door het puntproduct van de corresponderende rij van A te nemen met de kolom B . Als A De eerste rij is [13] en B De eerste kolom van de gebruiker is [25], het resulterende element is (1×2)+(3×5)=15.

Eigenwaarden online berekenen

Met onze webgebaseerde matrixcalculator kunt u eigenwaarden (en meer) vinden voor matrices van vrijwel elke grootte. Het verwerkt symbolische en numerieke invoer, waardoor uw workflow wordt gestroomlijnd, of u nu in een klaslokaal of in een onderzoekslaboratorium zit.

Experimenteer gerust met verschillende matrices om te zien hoe eigenwaarden hun onderliggende structuur onthullen.