Door Ariel Balter, Ph.D. Bijgewerkt op 30 augustus 2022

Hulton Archief/Getty Images Nieuws/Getty Images

In calculus is de afgeleide een fundamenteel hulpmiddel dat kwantificeert hoe een functie verandert. Als bijvoorbeeld x(t) vertegenwoordigt de positie van een voertuig op tijdstip t , zijn afgeleide dx/dt geeft de snelheid van het voertuig weer. Visueel is de afgeleide gelijk aan de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie op een bepaald punt. Hoewel de conceptuele definitie afhankelijk is van limieten, gebruiken wiskundigen in de praktijk een reeks standaardregels en opzoektabellen om snel afgeleiden te berekenen.

De afgeleide als helling

Conceptueel gezien is de helling van een rechte lijn tussen twee punten de stijging over de run:Δy / Δx . Voor een functie y(x) op een specifieke x , is de afgeleide de helling van de lijn die net de curve raakt bij [x, y(x)] . Om dit bij benadering te benaderen, trekt men een lijn vanaf [x, y(x)] naar een nabijgelegen punt [x+h, y(x+h)] waarbij h is erg klein. De uitvoering is h en de stijging is y(x+h)-y(x) . De helling is dus ongeveer (y(x+h)-y(x))/h . Neem als limiet h nadert nul geeft de exacte helling, aangegeven met y'(x) of dy/dx .

De afgeleide van een machtsfunctie

Met behulp van de limietdefinitie kunnen we de afgeleide van een machtsfunctie y(x)=x^a afleiden . Bijvoorbeeld:als y=x^3 , dan

dy/dx=lim_{h→0}[(x+h)^3-x^3]/h .

(x+h)^3 wordt uitgebreid geeft [(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3]/h=3x^2+3xh^2+h^2 . Als h neigt naar nul, waarbij de termen h bevatten verdwijnen en laten y'(x)=3x^2 over . Over het algemeen d/dx x^a = a x^{a-1} .

Afgeleide producten uit de Power-serie

Veel functies kunnen worden uitgedrukt als machtreeksen, d.w.z. oneindige sommen in de vorm ∑_{n=0}^{∞}C_n x^n . De sinusfunctie breidt zich bijvoorbeeld uit naar

sin(x)=x- x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + …

Door term-voor-term te differentiëren, ontstaat de machtreeks voor cos(x) :

cos(x)=1- x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + …

Afgeleide tabellen en regels gebruiken

Hoewel de methoden voor limiet- en machtreeksen de basis vormen, vertrouwen wiskundigen vaak op vooraf berekende tabellen voor elementaire afgeleiden:d/dx sin x = cos x , d/dx e^x = e^x , d/dx ln x = 1/x , enzovoort. Voor samengestelde of productfuncties zijn regels als de ketenregel en de productregel onmisbaar. De kettingregel geeft bijvoorbeeld d/dx sin(x^2)=2x cos(x^2) , en de productregel geeft d/dx[x sin x]=x cos x+sin x . Door deze standaardregels met de tabellen te combineren, kan elke differentieerbare functie analytisch worden afgehandeld. Wanneer functies buitengewoon complex worden, worden computerhulpmiddelen zoals Mathematica of SymPy gebruikt om het proces te automatiseren.