demaerre/iStock/GettyImages

Wanneer je je verdiept in trigonometrie of calculus, kom je functies tegen zoals sinus, cosinus en tangens. Het raden van de waarde van een goniometrische vergelijking met een diagram of een rekenmachine kan vervelend of zelfs onmogelijk zijn. Daarom zijn trigonometrische identiteiten – korte, bewezen relaties – essentieel voor het vereenvoudigen en oplossen van deze vergelijkingen.

TL;DR

Met dubbelhoekidentiteiten kunt u sin(2θ), cos(2θ) en tan(2θ) uitdrukken in termen van enkelhoekfuncties. Ze vormen een subset van de meer algemene som- en verschilformules.

Dubbele hoekidentiteiten voor sinus

Er bestaan twee gelijkwaardige vormen:

\\(\\sin(2\\theta)=2\\sin(\\theta)\\cos(\\theta)\\)

\\(\\sin(2\\theta)=\\frac{2\\tan(\\theta)}{1+\\tan^2(\\theta)}\\)

Dubbele hoekidentiteiten voor cosinus

Cosinus kan op verschillende handige manieren worden geschreven:

\\(\\cos(2\\theta)=\\cos^2(\\theta)-\\sin^2(\\theta)\\)

\\(\\cos(2\\theta)=2\\cos^2(\\theta)-1\\)

\\(\\cos(2\\theta)=1-2\\sin^2(\\theta)\\)

\\(\\cos(2\\theta)=\\frac{1-\\tan^2(\\theta)}{1+\\tan^2(\\theta)}\\)

Dubbele identiteit voor raaklijn

Er wordt slechts één praktische vorm gebruikt:

\\(\\tan(2\\theta)=\\frac{2\\tan(\\theta)}{1-\\tan^2(\\theta)}\\)

Double-angle-identiteiten gebruiken

Deze identiteiten zijn van onschatbare waarde als u een trigonometrische uitdrukking moet herschrijven, zodat er slechts één type functie overblijft. Het hoeksymbool kan elke letter zijn – θ, α, x of β – omdat de identiteit voor alle hoeken geldt.

Voorbeeld 1

Herschrijf cos2x+sin2x met alleen sinx en cosx:

\\(\\cos(2x)+\\sin(2x)=\\bigl(2\\cos^2(x)-1\\bigr)+\\bigl(2\\sin(x)\\cos(x)\\bigr)\\)

\\(\\quad=2\\cos(x)\\bigl(\\cos(x)+\\sin(x)\\bigr)-1\\)

Voorbeeld 2

1. Vereenvoudig 2cos²32–1 :

\\(2\\cos^2(32)-1=\\cos(2\\times32)=\\cos(64)\\)

2. Vereenvoudig 2sinαcosα waarbij α=β⁄2 :

\\(2\\sin(α)\\cos(α)=\\sin(2\\alpha)=\\sin(\\beta)\\)