De drie meest gebruikte methoden om vergelijkingssystemen op te lossen zijn substitutie, eliminatie en augmented matrices. Substitutie en eliminatie zijn eenvoudige methoden die de meeste systemen van twee vergelijkingen effectief kunnen oplossen in een paar eenvoudige stappen. De methode van augmented matrices vereist meer stappen, maar de toepassing ervan strekt zich uit tot een grotere verscheidenheid aan systemen.

Substitutie

Substitutie is een methode om vergelijkingssystemen op te lossen door alle variabelen, behalve één, te verwijderen in een van de vergelijkingen en vervolgens die vergelijking op te lossen. Dit wordt bereikt door de andere variabele in een vergelijking te isoleren en vervolgens waarden voor deze variabelen in een andere vergelijking te vervangen. Als u bijvoorbeeld het systeem van vergelijkingen x + y = 4, 2x - 3y = 3 wilt oplossen, isoleert u de variabele x in de eerste vergelijking om x = 4 - y te krijgen, waarna u deze waarde van y in de tweede vergelijking vervangt om 2 te krijgen (4 - y) - 3y = 3. Deze vergelijking vereenvoudigt tot -5y = -5, of y = 1. Steek deze waarde in de tweede vergelijking om de waarde van x: x + 1 = 4 of x = 3 te vinden.

Eliminatie

Eliminatie is een andere manier om stelsels van vergelijkingen op te lossen door een van de vergelijkingen in termen van slechts één variabele te herschrijven. De eliminatiemethode bereikt dit door vergelijkingen van elkaar toe te voegen of af te trekken om een ​​van de variabelen te annuleren. Als u bijvoorbeeld de vergelijkingen x + 2y = 3 en 2x - 2y = 3 toevoegt, krijgt u een nieuwe vergelijking, 3x = 6 (merk op dat de y-termen zijn geannuleerd). Het systeem wordt vervolgens opgelost met dezelfde methoden als voor vervanging. Als het onmogelijk is om de variabelen in de vergelijkingen te annuleren, is het nodig om de hele vergelijking te vermenigvuldigen met een factor om de coëfficiënten te laten overeenkomen.

Augmented Matrix

Augmented matrices kunnen ook worden gebruikt om systemen van vergelijkingen op te lossen. De augmented matrix bestaat uit rijen voor elke vergelijking, kolommen voor elke variabele en een augmented kolom die de constante term aan de andere kant van de vergelijking bevat. De vergrote matrix voor het stelsel van vergelijkingen 2x + y = 4, 2x - y = 0 is bijvoorbeeld [[2 1], [2 -1] ... [4, 0]].

Bepalen van de oplossing

De volgende stap omvat het gebruik van elementaire rijenbewerkingen, zoals het vermenigvuldigen of delen van een rij door een constante anders dan nul en het optellen of aftrekken van rijen. Het doel van deze bewerkingen is om de matrix naar rij-echelon-vorm om te zetten, waarbij de eerste niet-nulinvoer in elke rij een 1 is, boven en onder deze invoer zijn allemaal nullen en de eerste niet-nulinvoer voor elke rij rij staat altijd rechts van al deze items in de rijen erboven. Het rij-echelonformulier voor de bovenstaande matrix is ​​[[1 0], [0 1] ... [1, 2]]. De waarde van de eerste variabele wordt gegeven door de eerste rij (1x + 0y = 1 of x = 1). De waarde van de tweede variabele wordt gegeven door de tweede rij (0x + 1y = 2 of y = 2).

Toepassingen

Substitutie en eliminatie zijn eenvoudiger methoden voor het oplossen van vergelijkingen en worden veel gebruikt vaker dan augmented matrices in elementaire algebra. De substitutiemethode is vooral handig als een van de variabelen al in een van de vergelijkingen is geïsoleerd. De eliminatiemethode is handig wanneer de coëfficiënt van een van de variabelen in alle vergelijkingen hetzelfde is (of het negatieve equivalent daarvan). Het belangrijkste voordeel van augmented matrices is dat het kan worden gebruikt om systemen van drie of meer vergelijkingen op te lossen in situaties waarin substitutie en eliminatie ofwel onhaalbaar of onmogelijk zijn.