Een van de belangrijke bewerkingen die u in de calculus uitvoert, is het vinden van derivaten. De afgeleide van een functie wordt ook de snelheid van verandering van die functie genoemd. Bijvoorbeeld, als x (t) de positie van een auto op elk moment t is, dan is de afgeleide van x, die is geschreven als dx /dt, de snelheid van de auto. Ook kan het derivaat worden gevisualiseerd als de helling van een lijn die raakt aan de grafiek van een functie. Op een theoretisch niveau is dit hoe wiskundigen derivaten vinden. In de praktijk gebruiken wiskundigen sets basisregels en opzoektabellen.

Het afleiding als helling

De helling van een lijn tussen twee punten is de stijging of het verschil in y-waarden gedeeld door de run of verschil in x-waarden. De helling van een functie y (x) voor een bepaalde waarde van x wordt gedefinieerd als de helling van een lijn die de functie raakt op het punt [x, y (x)]. Om de helling te berekenen construeer je een lijn tussen het punt [x, y (x)] en een nabijgelegen punt [x + h, y (x + h)], waarbij h een heel klein getal is. Voor deze regel is de run of verandering in x-waarde h en de stijging of verandering in de y-waarde is y (x + h) - y (x). Bijgevolg is de helling van y (x) op het punt [x, y (x)] ongeveer gelijk aan [y (x + h) - y (x)] /[(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] /h. Om de helling precies te berekenen, berekent u de waarde van de helling als h kleiner en kleiner wordt, naar de "limiet" waar deze naar nul gaat. De op deze manier berekende helling is de afgeleide van y (x), die is geschreven als y '(x) of dy /dx.

De afgeleide van een vermogen-functie

U kunt de helling /limietmethode om de afgeleiden van functies te berekenen waarbij y gelijk is aan x aan de macht van a, of y (x) = x ^ a. Als y bijvoorbeeld gelijk is aan x in blokjes, y (x) = x ^ 3, dan is dy /dx de limiet wanneer h naar nul gaat van [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] /h. Uitbreiden (x + h) ^ 3 geeft [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] /h, wat na het verdelen terugloopt naar 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 door h. In de limiet als h naar nul gaat, gaan alle termen met h ook naar nul. Dus, y '(x) = dy /dx = 3x ^ 2. U kunt dit doen voor waarden van een andere dan 3 en over het algemeen kunt u laten zien dat d /dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Afgeleide van een Power Series

Veel functies kunnen worden geschreven als een power-serie, die de som zijn van een oneindig aantal termen, waarbij elke is van de vorm C (n) x ^ n, waarbij x een variabele, n is een geheel getal en C (n) is een specifiek getal voor elke waarde van n. De machtreeks voor de sinusfunctie is bijvoorbeeld Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., waarbij "..." betekent dat termen doorgaan tot het oneindige. Als u de vermogensreeks voor een functie kent, kunt u de afgeleide van de macht x ^ n gebruiken om de afgeleide van de functie te berekenen. De afgeleide van Sin (x) is bijvoorbeeld gelijk aan 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., wat toevallig de vermogensreeks voor Cos (x) is.

Derivaten uit tabellen

De afgeleiden van basisfuncties zoals bevoegdheden zoals x ^ a, exponentiële functies, logfuncties en trig-functies, worden gevonden met behulp van de slope /limit-methode, de power series-methode of andere methoden. Deze derivaten worden vervolgens vermeld in tabellen. U kunt bijvoorbeeld opzoeken dat de afgeleide van Sin (x) Cos (x) is. Wanneer complexe functies combinaties van de basisfuncties zijn, hebt u speciale regels nodig, zoals de kettingregel en productregel, die ook in de tabellen staan. U gebruikt bijvoorbeeld de kettingregel om vast te stellen dat de afgeleide van Sin (x ^ 2) 2xCos (x ^ 2) is. U gebruikt de productregel om te ontdekken dat de afgeleide van xSin (x) xCos (x) + Sin (x) is. Met behulp van tabellen en eenvoudige regels, kunt u de afgeleide van elke functie vinden. Maar wanneer een functie uiterst complex is, nemen wetenschappers soms hun toevlucht tot computerprogramma's voor hulp.