De stelling van de Equipartition stelt dat elke mate van vrijheid van een systeem in thermisch evenwicht een gemiddelde energie van 1/2 kt heeft, waarbij K de Boltzmann -constant is en T de absolute temperatuur is. Hoewel deze stelling voor veel klassieke systemen geldt, breekt het af voor de kwantumharmonische oscillator. Dit is waarom:

1. Gekwantiseerde energieniveaus:

* In de klassieke mechanica kan de energie van een harmonische oscillator elke continue waarde aannemen.

* In de kwantummechanica wordt de energie van een harmonische oscillator gekwantiseerd. Dit betekent dat het alleen kan bestaan ​​op specifieke discrete energieniveaus, gegeven door:

E_n =(n + 1/2) ħΩ waarbij n =0, 1, 2, ...

* ħ is de gereduceerde planck -constante

* Ω is de hoekfrequentie van de oscillator

2. Energiediscretisatie en thermische excitatie:

* Bij lage temperaturen is de energieafstand tussen deze gekwantiseerde niveaus significant in vergelijking met KT. Dit betekent dat het systeem eerder in de grondtoestand staat (n =0).

* Naarmate de temperatuur toeneemt, heeft het systeem toegang tot hogere energieniveaus. De overgang van het ene energieniveau naar het andere vereist echter een specifieke hoeveelheid energie, en niet alle niveaus worden noodzakelijkerwijs gelijk bevolkt.

3. Gevolgen voor Equipartition:

* Vanwege de kwantisatie volgt de energie van een kwantumharmonische oscillator niet de continue verdeling die wordt aangenomen door de stelling van de Equipartition.

* De gemiddelde energie van een kwantumharmonische oscillator bij een gegeven temperatuur hangt af van de populatie van elk energieniveau, die wordt bepaald door de Boltzmann -verdeling.

* Deze bevolkingsverdeling is geen eenvoudige 1/2 kt per graad van vrijheid, zoals de stelling van de Equipartition zou suggereren.

4. Hoge temperatuurlimiet:

* Bij zeer hoge temperaturen wordt KT veel groter dan de energieafstand tussen niveaus. In deze limiet lijken de energieniveaus bijna continu en wordt de stelling van de Equipartition een goede benadering.

Samenvattend:

De stelling van de Equipartition faalt voor de kwantumharmonische oscillator omdat de kwantisatie van energieniveaus een eenvoudige gelijke verdeling van energie voorkomt tussen vrijheidsgraden. De gemiddelde energie van de oscillator wordt beïnvloed door de discrete energieniveaus en de Boltzmann -verdeling, wat leidt tot afwijkingen van de voorspelling van de Equipartition, met name bij lage temperaturen.