Door Lisa Maloney
12 maart 2023 01:49 EST

Igor Kutyaev/iStock/GettyImages

Exponentiële groei komt vaak voor in alledaagse taal, maar de wiskundige onderbouwing ervan is nauwkeurig en essentieel voor veel scenario’s in de echte wereld. Of u nu de bacteriële proliferatie volgt, samengestelde rente evalueert of de populatiedynamiek modelleert, dezelfde kernformule is van toepassing. Om de exponentiële groei op te lossen, heb je de startwaarde, de groei- of vervalsnelheid en de verstreken tijd nodig.

De formule voor exponentiële groei

De meest voorkomende weergave is:

f(t) = a × ekt

waar een is de initiële waarde, k is de continue groei- (of verval-)constante, t is tijd, en f(t) is de waarde op tijdstip t . Het getal van Euler (e ≈ 2,71828) is de basis van natuurlijke logaritmen en de basis van voortdurende exponentiële verandering.

Als alternatief wordt vaak de vorm van samengestelde rente gebruikt:

f(t) = a(1+r)t

Hier, r vertegenwoordigt een discrete groeisnelheid (bijvoorbeeld jaarlijkse rente) en de exponent volgt nog steeds verstreken perioden.

Het groeipercentage afleiden uit waargenomen gegevens

Denk aan een microbioloog die een nieuwe bacteriesoort meet. Hij begint met 50 cellen en neemt vijf uur later 550 cellen op.

Deze getallen in het continue model inpluggen:

550 = 50 × ek×5

Verdeel beide zijden door 50 om de exponentiële term te isoleren:

11 = e5k

Neem de natuurlijke logaritme van elke zijde:

ln(11) = 5k

Los ten slotte k op :

k = ln(11) / 5 ≈ 0.48 · hr-1

Dit percentage geeft aan hoe snel de bevolking groeit. Om de grootte na 10 uur te projecteren, voert u eenvoudigweg t =10 in in de formule met behulp van de afgeleide k waarde.

Als het tarief lager is dan één

Een tarief k onder nul duidt op exponentieel verval:elke periode levert minder individuen op. In de financiële sector vertegenwoordigt dit scenario vaak een negatieve groei of een accumulatie van schulden. Dezelfde vergelijkingen zijn van toepassing; het teken van k bepaalt of de trend groei of verval is.

Toepassingen in de praktijk van exponentiële groei

• Samengestelde rente: Spaarrekeningen, hypotheken en beleggingsrendementen nemen in de loop van de tijd exponentieel toe.
• Radioactief verval: Halfwaardetijdberekeningen zijn gebaseerd op exponentieel verval om te voorspellen wanneer de helft van een monster zal zijn getransformeerd.
• Verdubbelingstijd: Zowel in de biologie als in de financiële wereld geeft de verdubbelingstijd aan hoe lang het duurt voordat een hoeveelheid verdubbelt, gegeven een constante groeisnelheid.

Om de halfwaardetijd of de verdubbelingstijd te berekenen, stelt u de uitvoer van de formule in op de helft of tweemaal de startwaarde en lost u de tijd op.