In de wiskunde wordt een tegenvoorbeeld gebruikt om een bewering te weerleggen. Als u wilt bewijzen dat een bewering waar is, moet u een bewijs schrijven om aan te tonen dat deze altijd waar is; een voorbeeld geven is niet voldoende. In vergelijking met het schrijven van een bewijs, is het schrijven van een tegenvoorbeeld veel eenvoudiger; als u wilt laten zien dat een bewering niet waar is, hoeft u slechts één voorbeeld te geven van een scenario waarin de bewering onwaar is. De meeste tegenvoorbeelden in algebra betreffen numerieke manipulaties.
Twee klassen van wiskunde

Bewijsschrijven en het vinden van tegenvoorbeelden zijn twee van de primaire klassen van wiskunde. De meeste wiskundigen richten zich op het schrijven van bewijzen om nieuwe stellingen en eigenschappen te ontwikkelen. Wanneer beweringen of vermoedens niet waar kunnen worden bewezen, weerleggen wiskundigen ze door tegenvoorbeelden te geven.
Tegenvoorbeelden zijn concreet

In plaats van variabelen en abstracte notaties te gebruiken, kunt u numerieke voorbeelden gebruiken om een argument te weerleggen. In algebra omvatten de meeste tegenvoorbeelden manipulatie met behulp van verschillende positieve en negatieve of oneven en even getallen, extreme gevallen en speciale getallen zoals 0 en 1.
Eén tegenvoorbeeld is voldoende

De filosofie van het tegenvoorbeeld is dat als in één scenario waarin de bewering niet waar is, dan is de bewering onwaar. Een niet-wiskundig voorbeeld is: "Tom heeft nog nooit gelogen." Om te laten zien dat deze bewering waar is, moet je 'bewijs' leveren dat Tom nooit een leugen heeft verteld door elke bewering die Tom ooit heeft gedaan bij te houden. Om deze verklaring te weerleggen, hoeft u echter maar één leugen te laten zien die Tom ooit heeft gesproken.
Beroemde tegenvoorbeelden

"Alle priemgetallen zijn vreemd." Hoewel bijna alle priemgetallen, inclusief alle priemgetallen boven 3, oneven zijn, is "2" een priemgetal dat even is; deze bewering is onjuist; "2" is het relevante tegenvoorbeeld.

"Aftrekken is commutatief." Zowel optellen als vermenigvuldigen zijn commutatief - ze kunnen in elke volgorde worden uitgevoerd. Dat wil zeggen, voor alle reële getallen a en b, a + b \u003d b + a en a * b \u003d b * a. Aftrekken is echter niet commutatief; een tegenvoorbeeld dat bewijst: 3 - 5 is niet gelijk aan 5 - 3.

"Elke continue functie is te differentiëren." De absolute functie