Ridofranz/iStock/GettyImages

Algebra vereist vaak de vereenvoudiging van uitdrukkingen en complexe getallen, die de denkbeeldige eenheid i bevatten (gedefinieerd door i ² =–1) – kan op het eerste gezicht intimiderend lijken. Zodra u echter de fundamentele regels onder de knie heeft, is het omgaan met complexe getallen eenvoudig en betrouwbaar.

TL;DR (te lang; niet gelezen)

Volg de elementaire algebraïsche regels (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) wanneer u met complexe getallen werkt om elke uitdrukking te vereenvoudigen.

Wat is een complex getal?

Complexe getallen breiden het reële getallensysteem uit door de denkbeeldige eenheid i op te nemen , de vierkantswortel van –1. Elk complex getal kan in de standaardvorm worden geschreven:

\(z =a + bi\)

Hier, een is het reële deel en b is het denkbeeldige deel, die elk positief of negatief kunnen zijn. Bijvoorbeeld z =2 – 4i demonstreert de structuur. In feite zijn gewone reële getallen eenvoudigweg complexe getallen met b =0, dus het complexe getalsysteem is een natuurlijke uitbreiding van alle getallen.

Basisregels voor algebra met complexe getallen

Optellen en aftrekken

Wanneer u complexe getallen optelt of aftrekt, combineer dan de reële delen en de denkbeeldige delen afzonderlijk. Bijvoorbeeld met z =2 – 4i en w =3 + 5i :

\(\begin{uitgelijnd} z + w &=(2 – 4i) + (3 + 5i)\\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i\\ &=5 + i\end{uitgelijnd}\)

Aftrekken volgt hetzelfde principe:

\(\begin{uitgelijnd} z - w &=(2 – 4i) – (3 + 5i)\\ &=(2 – 3) + (-4 – 5)i\\ &=-1 - 9i\end{uitgelijnd}\)

Vermenigvuldigen

Vermenigvuldigen is analoog aan gewone algebra, maar je moet onthouden dat i ² =–1. Voor twee eenvoudige denkbeeldige getallen, 3i × –4i :

\(3i \times -4i =-12i^2 =-12(-1) =12\)

Gebruik bij volledige complexe getallen de FOIL-methode:

\(\begin{uitgelijnd} z \times w &=(2 - 4i)(3 + 5i)\\ &=(2 \times 3) + (-4i \times 3) + (2 \times 5i) + (-4i \times 5i)\\ &=6 - 12i + 10i - 20i^2\\ &=6 - 2i + 20\\ &=26 + 2i\end{uitgelijnd}\)

Divisie

Om complexe getallen te delen, vermenigvuldigt u de teller en de noemer met de conjugaat van de noemer. De conjugaat van een complex getal z =a + bi is z* =een – bi. Bijvoorbeeld:

\(\frac{z}{w} =\frac{2 - 4i}{3 + 5i}\)

Vermenigvuldig met de conjugaat van de noemer (3 – 5i ):

\(\frac{z}{w} =\frac{(2 - 4i)(3 - 5i)}{(3 + 5i)(3 - 5i)}\)

Bereken de teller en de noemer afzonderlijk:

\(\begin{uitgelijnd} (2 - 4i)(3 - 5i) &=6 - 12i - 10i + 20i^2 \nieuweregel &=-14 - 22i \nieuweregel (3 + 5i)(3 - 5i) &=9 + 15i - 15i - 25i^2 \nieuweregel &=34\end{uitgelijnd}\)

Dus:

\(\frac{z}{w} =\frac{-14 - 22i}{34} =-\frac{7}{17} - \frac{11}{17}i\)

Complexe expressies vereenvoudigen

Pas de bovenstaande regels toe om complexe expressies te verminderen. Neem het voorbeeld:

\(z =\frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2 + i)}\)

Vereenvoudig eerst de teller:

\((4 + 2i) + (2 - ik) =6 + ik\)

Dan de noemer:

\(\begin{uitgelijnd} (2 + 2i)(2 + i) &=4 + 4i + 2i + 2i^2 \nieuwe regel &=(4 - 2) + 6i \nieuwe regel &=2 + 6i\end{uitgelijnd}\)

De breuk wordt:

\(z =\frac{6 + i}{2 + 6i}\)

Vermenigvuldig teller en noemer met de conjugaat van de noemer (2 – 6i ):

\(\begin{uitgelijnd} z &=\frac{(6 + i)(2 - 6i)}{(2 + 6i)(2 - 6i)} \nieuweregel &=\frac{12 + 2i - 36i - 6i^2}{4 + 12i - 12i - 36i^2} \nieuweregel &=\frac{18 - 34i}{40} \nieuweregel &=\frac{9}{20} - \frac{17}{20}i\end{uitgelijnd}\)

De vereenvoudigde vorm is dus:

\(z =\frac{9}{20} - \frac{17}{20}i\)