Denkbeeldige getallen zijn een wiskundig concept dat getallen vertegenwoordigt die niet reëel zijn (niet op de getallenlijn kunnen worden weergegeven). Denkbeeldige getallen worden aangegeven met het symbool \( i\), dat de vierkantswortel van -1 vertegenwoordigt.

Het concept van denkbeeldige getallen werd in de 16e eeuw geïntroduceerd door de Italiaanse wiskundige Girolamo Cardano om derdegraadsvergelijkingen op te lossen. Hoewel ze op het eerste gezicht misschien abstract lijken, hebben denkbeeldige getallen praktische toepassingen op veel gebieden, waaronder elektrotechniek, kwantummechanica en signaalverwerking.

Wat is ik?

Het symbool \(i\) vertegenwoordigt de denkbeeldige eenheid, die wordt gedefinieerd als de wortel van -1. Dit betekent dat \( i^2 =-1 \). Deze definitie geeft aanleiding tot de term 'denkbeeldig' omdat de vierkantswortel van een negatief getal geen reëel getal is.

Complexe getallen:

Denkbeeldige getallen worden gecombineerd met reële getallen om complexe getallen te vormen. Een complex getal wordt geschreven in de vorm \( a+bi \), waarbij a en b reële getallen zijn, en \( i\) de denkbeeldige eenheid is. Het reële deel van een complex getal is \( a \), en het imaginaire deel is \( bi \).

Eigenschappen van denkbeeldige getallen:

* Het kwadraat van de denkbeeldige eenheid is -1, of \( i^2 =-1\).

* Het product van twee denkbeeldige getallen is een ander denkbeeldig getal, oftewel \( i \cdot i =-1 \).

*De som van een reëel getal en een denkbeeldig getal is een complex getal.

Toepassingen van denkbeeldige getallen:

* Elektrotechniek: Denkbeeldige getallen worden gebruikt om elektrische circuits te analyseren, vooral in de context van wisselstroomcircuits (AC).

* Kwantummechanica: Denkbeeldige getallen zijn essentieel voor het beschrijven van de golffunctie van deeltjes in de kwantummechanica.

* Signaalverwerking: Denkbeeldige getallen worden gebruikt bij signaalverwerking om signalen, zoals audio- en videosignalen, te analyseren en te manipuleren.

Denkbeeldige getallen lijken op het eerste gezicht misschien contra-intuïtief, maar ze zijn van cruciaal belang op verschillende gebieden van de wiskunde en natuurwetenschappen. Ze breiden het concept van getallen verder uit dan reële getallen en bieden een krachtig hulpmiddel voor het oplossen van problemen en het begrijpen van verschijnselen die niet alleen met reële getallen kunnen worden beschreven.