Wanneer u begint met drie vergelijkingen en drie onbekenden (variabelen), denkt u mogelijk dat u voldoende informatie heeft om alle variabelen op te lossen. Bij het oplossen van een systeem van lineaire vergelijkingen met behulp van de eliminatiemethode, kunt u echter vaststellen dat het systeem niet voldoende is bepaald om een ​​uniek antwoord te vinden, en in plaats daarvan is een oneindig aantal oplossingen mogelijk. Dit gebeurt wanneer de informatie in een van de vergelijkingen in het systeem overbodig is voor informatie in de andere vergelijkingen.

Een voorbeeld van 2x2

3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Dit systeem van vergelijkingen is duidelijk overbodig. Je kunt één vergelijking van de andere maken door gewoon te vermenigvuldigen met een constante. Met andere woorden, ze brengen dezelfde informatie over. Ondanks dat er twee vergelijkingen zijn voor de twee onbekenden, x en y, kan de oplossing van dit systeem niet worden versmald tot één waarde voor x en één waarde voor y. (x, y) = (1,1) en (5 /3,0) lossen het op, net als veel meer oplossingen. Dit is het soort 'probleem', deze ontoereikendheid van informatie, die ook leidt tot een oneindig aantal oplossingen in grotere systemen van vergelijkingen.

Een voorbeeld van 3x3

x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Underscores worden alleen gebruikt om de afstand in stand te houden.] Door de eliminatiemethode, elimineer x uit de tweede rij door de tweede rij van de eerste af te trekken, waarbij x + y + z wordt gegeven = 10 _2y = 10 x_ + z = 5 Elimineer x uit de derde rij door de derde rij van de eerste af te trekken. x + y + z = 10 _2y = 10 y = 5 Het is duidelijk dat de laatste twee vergelijkingen equivalent zijn. y is gelijk aan 5 en de eerste vergelijking kan worden vereenvoudigd door y te elimineren. x + 5 + z = 10 y __ = 5 of x + z = 5 y = 5 Merk op dat de eliminatiemethode hier geen mooie driehoekige vorm zal produceren, net als wanneer er één unieke oplossing is. In plaats daarvan zal de laatste vergelijking (zo niet meer) zelf worden opgenomen in de andere vergelijkingen. Het systeem bestaat nu uit drie onbekenden en slechts twee vergelijkingen. Het systeem wordt "underdetermined" genoemd, omdat er niet genoeg vergelijkingen zijn om de waarde van alle variabelen te bepalen. Een oneindig aantal oplossingen is mogelijk.

Hoe de oneindige oplossing schrijven

De oneindige oplossing voor het bovenstaande systeem kan worden geschreven in termen van één variabele. Eén manier om dit te schrijven is (x, y, z) = (x, 5,5-x). Omdat x een oneindig aantal waarden kan aannemen, kan de oplossing een oneindig aantal waarden aannemen.