Door Lee Johnson | Bijgewerkt 30 augustus 2022

Audrius Merfeldas/iStock/GettyImages

Trigonometrie is meer dan een reeks obscure symbolen:het is een krachtig hulpmiddel dat ten grondslag ligt aan veel wetenschappelijke en technische disciplines. Als u begrijpt hoe u een raakwaarde kunt vertalen naar een bekende maatstaf, ontsluit u praktische toepassingen, van navigatie tot structurele analyse.

TL;DR

Voor een rechthoekige driehoek geldt tanθ =tegenovergesteld/aangrenzend . Om een raaklijnwaarde terug te converteren naar een graadmaat, gebruik je de inverse functie:θ =arctan(tanθ) , dat op de meeste rekenmachines wordt weergegeven als tan⁻¹ .

Wat is een raaklijn?

In een rechthoekige driehoek is de raaklijn van een hoek θ de verhouding tussen de zijde tegenover die hoek en de zijde die ernaast ligt:

\(\tan(\theta) =\dfrac{\text{tegenover}}{\text{aangrenzend}}\)

Omdat de raaklijn alleen afhankelijk is van de twee benen van de driehoek, speelt de hypotenusa geen rol bij de berekening ervan. Als alternatief kan tanθ worden uitgedrukt als de verhouding tussen sinus en cosinus:

\(\tan(\theta) =\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\)

Wat is Arctan?

De inverse tangens, of arctan (vaak geschreven als tan⁻¹), maakt de tan-bewerking ongedaan. Als u tanθ kent, retourneert het toepassen van arctan de oorspronkelijke hoek θ, uitgedrukt in radialen of graden, afhankelijk van de instellingen van uw rekenmachine. Arcsin en arccos voeren dezelfde omgekeerde bewerkingen uit voor respectievelijk sinus en cosinus.

Rangenten omzetten in graden

Om een hoek in graden te vinden vanaf een gegeven raaklijnwaarde, past u eenvoudigweg de arctan-functie toe:

\(\text{Hoek in graden} =\arctan(\tan(\theta))\)

Als tanθ=√3 bijvoorbeeld:

\(\begin{uitgelijnd}\text{Hoek in graden} &=\arctan(\sqrt{3})\\&=60^\circ\end{uitgelijnd}\)

Op de meeste rekenmachines drukt u op de tan⁻¹ knop voordat u de waarde invoert, of daarna, afhankelijk van het model.

Een voorbeeldprobleem:de vaarrichting van een boot

Beschouw een boot die met een snelheid van 5 m/s naar het oosten vaart, terwijl een noordelijke stroming hem met een snelheid van 2 m/s voortstuwt. Wat is de resulterende richting ten opzichte van het oosten?

Modelleer de situatie als een rechthoekige driehoek:de oostwaartse snelheid is de aangrenzende zijde, de noordwaartse stroming is de tegenovergestelde zijde en de gecombineerde snelheid is de hypotenusa. Dus:

\(\tan(\theta) =\dfrac{2\,\text{m/s}}{5\,\text{m/s}} =0,4\)

Omrekenen naar graden:

\(\begin{uitgelijnd}\text{Hoek in graden} &=\arctan(0,4)\\&\circa 21,8^\circ\end{uitgelijnd}\)

Het traject van de boot wijkt 21,8° af ten noorden van het oosten, wat illustreert hoe raakwaarden zich direct vertalen in navigatiepeilingen.