Het verschil tussen klassieke mechanica en kwantummechanica is enorm. Terwijl in klassieke mechanica deeltjes en objecten duidelijk gedefinieerde posities hebben, kan in de kwantummechanica (voorafgaand aan een meting) alleen worden gezegd dat een deeltje een bereik van mogelijke posities heeft, die worden beschreven in termen van waarschijnlijkheden door de golffunctie. >

De Schrodinger-vergelijking definieert de golffunctie van kwantummechanische systemen en het leren gebruiken en interpreteren ervan is een belangrijk onderdeel van elke cursus in de kwantummechanica. Een van de eenvoudigste voorbeelden van een oplossing voor deze vergelijking is voor een deeltje in een doos.
De golffunctie

In de kwantummechanica wordt een deeltje voorgesteld door een golffunctie. Dit wordt meestal aangeduid met de Griekse letter psi ( Ψ
) en het hangt af van zowel positie als tijd, en het bevat alles wat er over het deeltje bekend kan zijn.

De modulus van deze functie vierkant geeft de kans dat het deeltje op positie x
op tijdstip t
zal worden gevonden, op voorwaarde dat de functie "genormaliseerd" is. Dit betekent gewoon aangepast zodat het zeker te vinden is op enige
positie x
op het moment t
wanneer de resultaten op elke locatie worden samengevat, dat wil zeggen de normalisatieconditie zegt dat:
\\ int _ {- \\ infty} ^ \\ infty \\ vertΨ \\ vert ^ 2 \u003d 1

U kunt de wave-functie gebruiken om de verwachtingswaarde voor de positie van een deeltje op het tijdstip t
te berekenen, waarbij de verwachtingswaarde gewoon betekent de gemiddelde waarde die u krijgt voor x
als u de meting een groot aantal keren herhaalt. Dit betekent natuurlijk niet dat dit het resultaat is dat u voor een bepaalde meting krijgt - dat is effectief
willekeurig, hoewel sommige locaties meestal aanzienlijk waarschijnlijker zijn dan andere.

Er zijn veel andere grootheden waarvoor u verwachtingswaarden kunt berekenen, zoals momentum- en energiewaarden, evenals vele andere "observables".
Schrodinger-vergelijking

De Schrodinger-vergelijking is een differentiaalvergelijking die wordt gebruikt om vind de waarde voor de golffunctie en de eigenstaten voor de energie van het deeltje. De vergelijking kan worden afgeleid uit het behoud van energie en de uitdrukkingen voor de kinetische en potentiële energie van een deeltje. De eenvoudigste manier om het te schrijven is:
H (Ψ) \u003d iℏ \\ frac {\\ partialΨ} {\\ partial t}

Maar hier H
staat voor de Hamiltoniaanse operator, die op zichzelf een redelijk lange uitdrukking:
H \u003d \\ frac {−ℏ} {2m} \\ frac {\\ gedeeltelijke ^ 2} {\\ gedeeltelijke x ^ 2} + V (x)

Hier, m
is de massa, ℏ is de constante van Planck gedeeld door 2π, en V
( x
) is een algemene functie voor de potentiële energie van het systeem. De Hamiltoniaan heeft twee afzonderlijke delen - de eerste term is de kinetische energie van het systeem en de tweede term is de potentiële energie.

Elke waarneembare waarde in de kwantummechanica is geassocieerd met een operator en in de tijdonafhankelijke versie van de Schrodinger-vergelijking, de Hamiltoniaan is de energie-operator. In de hierboven weergegeven tijdsafhankelijke versie genereert de Hamiltoniaan echter ook de tijdevolutie van de golffunctie.

Door alle informatie in de vergelijking te combineren, kunt u de evolutie van het deeltje in de ruimte beschrijven en tijd en voorspel daarvoor ook de mogelijke energiewaarden.
De tijdonafhankelijke Schrodinger-vergelijking

Het tijdsafhankelijke deel van de vergelijking kan worden verwijderd - om een situatie te beschrijven die niet met de tijd verandert - door de golffunctie te scheiden in ruimte- en tijddelen: Ψ
( x
, t
) \u003d Ψ
( x
) f
( t
). De tijdsafhankelijke delen kunnen vervolgens uit de vergelijking worden geannuleerd, waardoor de tijdonafhankelijke versie van de Schrodinger-vergelijking overblijft:
H Ψ (x) \u003d E (Ψ (x))

E
is de energie van het systeem. Dit heeft de exacte vorm van een eigenwaarde-vergelijking, waarbij Ψ
( x
) de eigenfunctie is en E
de eigenwaarde is, daarom is de tijdonafhankelijke vergelijking wordt vaak de eigenwaarde-vergelijking voor de energie van een kwantummechanisch systeem genoemd. De tijdfunctie wordt eenvoudig gegeven door:
f (t) \u003d e ^ {- iEt /ℏ}

De tijdonafhankelijke vergelijking is nuttig omdat het de berekeningen vereenvoudigt voor veel situaties waarin tijdevolutie niet bijzonder cruciaal is . Dit is de meest bruikbare vorm voor "deeltjes in een doos" -problemen en zelfs voor het bepalen van de energieniveaus voor elektronen rond een atoom.
Deeltjes in een doos (Infinite Square Well)

Een van de eenvoudigste oplossingen naar de tijdonafhankelijke Schrodinger-vergelijking is voor een deeltje in een oneindig diepe vierkante put (dwz een oneindige potentiële put), of een eendimensionale doos met basislengte L
. Natuurlijk zijn dit theoretische idealisaties, maar het geeft een basisidee over hoe je de Schrodinger-vergelijking oplost zonder rekening te houden met veel van de complicaties die in de natuur bestaan.

Met de potentiële energie ingesteld op 0 buiten de put waar kansdichtheid is ook 0, de Schrodinger-vergelijking voor deze situatie wordt:
\\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} \u003d E Ψ (x)

En de algemene oplossing voor een vergelijking van deze vorm is:
Ψ (x) \u003d A \\ sin (kx) + B \\ cos (kx)

Kijken naar de randvoorwaarden kan dit echter helpen beperken . Voor x
\u003d 0 en x
\u003d L, d.w.z. de zijkanten van de doos of de wanden van de put, moet de golffunctie naar nul gaan. De cosinusfunctie heeft een waarde van 1 als het argument 0 is, dus om aan de randvoorwaarden te voldoen, moet de constante B
gelijk zijn aan nul. Dit laat:
Ψ (x) \u003d A \\ sin (kx)

U kunt ook de randvoorwaarden gebruiken om een waarde in te stellen voor k
. Omdat de sin-functie naar nul gaat bij waarden n_π, waar kwantumnummer _n
\u003d 0, 1, 2, 3 ... enzovoort, betekent dit wanneer x
\u003d L
, de vergelijking werkt alleen als k
\u003d n_π /_L
. Ten slotte kunt u het feit gebruiken dat de golffunctie moet worden genormaliseerd om de waarde van A
te vinden (integreren in alle mogelijke x
-waarden, dwz van 0 tot L
, en stel vervolgens het resultaat in op 1 en herschik), om te komen tot de laatste uitdrukking:
Ψ (x) \u003d \\ sqrt {\\ frac {2} {L}} \\ sin \\ bigg (\\ frac {nπ} {L} x \\ bigg)

Met behulp van de oorspronkelijke vergelijking en dit resultaat kunt u vervolgens oplossen voor E
, wat resulteert in:
E \u003d \\ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}

Merk op dat het feit dat n
in deze uitdrukking voorkomt, betekent dat de energieniveaus zijn gekwantificeerd
, dus ze kunnen geen
waarde, maar alleen een discrete set van specifieke energieniveauwaarden afhankelijk van de massa van het deeltje en de lengte van de doos.
Deeltje in een doos (Finite Square Well)

Hetzelfde probleem wordt iets gecompliceerder als de potentiële put een eindige wandhoogte heeft. Als bijvoorbeeld de potentiële V
( x
) de waarde V
_{0 buiten de potentiaalput en 0 erin neemt, kan de golffunctie bepaald in de drie belangrijkste regio's waarop het probleem betrekking heeft. Dit is echter een meer betrokken proces, dus hier kun je alleen de resultaten zien in plaats van het hele proces te doorlopen.}

Als de put op x
\u003d 0 staat tot x
\u003d L
nogmaals, voor de regio waar x
<0 de oplossing is:
Ψ (x) \u003d Be ^ {kx}

Voor de regio x
> L
is het:
Ψ (x) \u003d Ae ^ {- kx}

Waar
k \u003d \\ sqrt {\\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}

Voor het gebied in de put, waar 0 < x
< L
, is de algemene oplossing:
Ψ (x) \u003d C \\ sin (wx) + D \\ cos (wx)

Waar
w \u003d \\ sqrt {\\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}

U kunt dan gebruiken de randvoorwaarden om de waarden van de constanten A
, B
, C
en D
te bepalen, daarbij vaststellend en met gedefinieerde waarden aan de wanden van de put moet de golffunctie en de eerste afgeleide overal continu zijn en moet de golffunctie overal eindig zijn.

In andere gevallen, zoals ondiepe dozen, smalle dozen en vele andere specifieke situaties, er zijn benaderingen en verschillende oplossingen die u kunt vinden.