1. Definieer Jacobi -coördinaten

Voor een systeem van 4 atomen hebben we drie sets Jacobi -coördinaten nodig:

* Eerste set:

* $ \ Mathbf {r} _1 =\ Mathbf {r} _2 - \ Mathbf {r} _1 $ (vector verbinden atomen 1 en 2)

* $ \ Mathbf {r} _1 =\ frac {m_1 \ mathbf {r} _1 + m_2 \ mathbf {r} _2} {m_1 + m_2} $ (midden van massa van atomen 1 en 2)

* Tweede set:

* $ \ Mathbf {r} _2 =\ Mathbf {r} _3 - \ Mathbf {r} _1 $ (vector verbindt het massamassa van de massa van atomen 1 en 2 met atoom 3)

* $ \ Mathbf {r} _2 =\ frac {(M_1 + M_2) \ Mathbf {r} _1 + M_3 \ Mathbf {r} _3} {M_1 + M_2 + M_3} $ (Massa van Atoms 1, 2 en 3)

* Derde set:

* $ \ Mathbf {r} _3 =\ Mathbf {r} _4 - \ Mathbf {r} _2 $ (vector verbindt het massamassa van atomen 1, 2 en 3 tot atoom 4)

* $ \ Mathbf {r} _3 =\ frac {(M_1 + M_2 + M_3) \ MATHBF {R} _2 + M_4 \ Mathbf {r} _4} {M_1 + M_2 + M_3 + M_4} $ (centrum van alle 4 Atoms)

2. Druk de kinetische energie uit in termen van Jacobi -coördinaten

De kinetische energie van het systeem is:

`` `

T =(1/2) M_1 V_1^2 + (1/2) M_2 V_2^2 + (1/2) M_3 V_3^2 + (1/2) M_4 V_4^2

`` `

waar v vertegenwoordigt de snelheid van elk atoom.

Nu moeten we de snelheden uitdrukken ( v ) In termen van de tijd derivaten van de Jacobi -coördinaten ( r en r ). Dit kan worden gedaan met behulp van de differentiatieregel.

Bijvoorbeeld voor atoom 1:

`` `

v_1 =d/dt (r_1) =d/dt (r_2 - r_1) =v_2 - v_1

`` `

Evenzo kunt u de andere snelheden uitdrukken in termen van de derivaten van de Jacobi -coördinaten.

3. Vervang en vereenvoudig

Vervang de uitdrukkingen voor de snelheden in termen van de Jacobi -coördinaten in de kinetische energievergelijking. Na wat algebra en vereenvoudiging krijg je:

`` `

T =(1/2) μ_1 (d/dt r_1)^2 + (1/2) μ_2 (d/dt r_2)^2 + (1/2) μ_3 (d/dt r_3)^2 + (1/2) m (d/dt r_3)^2

`` `

waar:

* μ_1 =(M_1 * M_2) / (M_1 + M_2) is de verminderde massa van atomen 1 en 2

* μ_2 =(M_1 + M_2) * M_3 / (M_1 + M_2 + M_3) is de verminderde massa van het massamiddelpunt van atomen 1 en 2 en atoom 3

* μ_3 =(M_1 + M_2 + M_3) * M_4 / (M_1 + M_2 + M_3 + M_4) is de verminderde massa van het massamiddelpunt van atomen 1, 2 en 3 en atoom 4

* M =M_1 + M_2 + M_3 + M_4 is de totale massa van het systeem

4. Express als de kinetische energieoperator

De kinetische energieoperator in de kwantummechanica wordt verkregen door het klassieke momentum te vervangen door zijn kwantummechanische equivalent:

* p =-iħ∇

Daarom wordt de kinetische energie -operator in Jacobi -coördinaten:

`` `

T̂ =- (ħ^2 / 2μ_1) ∇_r1^2 - (ħ^2 / 2μ_2) ∇_r2^2 - (ħ^2 / 2μ_3) ∇_r3^2 - (ħ^2 / 2m) ∇_r3^2

`` `

waar ∇_r1, ∇_r2, ∇_r3 en ∇_r3 de gradiëntoperators zijn met betrekking tot de Jacobi -coördinaten.

Sleutelpunten:

* De Jacobi -coördinaten scheiden het centrum van massamotie van de relatieve bewegingen van de atomen. Dit vereenvoudigt de beschrijving van het systeem en vermindert de complexiteit van de berekeningen.

* De verminderde massa's verschijnen in de kinetische energie -operator, die het feit weerspiegelen dat de relatieve bewegingen van de atomen worden beïnvloed door de massa's van de individuele atomen.

* De laatste term in de operator vertegenwoordigt de kinetische energie van het massamiddelpunt, die meestal wordt genegeerd in moleculaire spectroscopie omdat het een constante is voor een gegeven molecuul.

Laat het me weten als je een meer gedetailleerde uitleg van een specifieke stap wilt!