Inzicht in de concepten

* Simple Harmonic Motion (SHM): Een type periodieke beweging waarbij de herstelkracht evenredig is met de verplaatsing van het evenwicht. Voorbeelden zijn een massa op een veer of een slinger slingeren met kleine hoeken.

* kinetische energie (ke): De energie van beweging, gegeven door KE =(1/2) mv², waarbij m massa is en V is snelheid.

* potentiële energie (PE): De energie opgeslagen vanwege de positie of configuratie van een object. In SHM is de potentiële energie vaak te wijten aan de compressie of extensie van een veer, en deze wordt gegeven door PE =(1/2) kx², waarbij k de veerconstante is en X de verplaatsing van evenwicht is.

afleiding

1. Gelijke energieën: We krijgen dat ke =pe.

2. Vervangingspressies: Vervang de vergelijkingen voor kinetische en potentiële energie:

(1/2) mv² =(1/2) kx²

3. Vereenvoudig: Annuleer de (1/2) voorwaarden.

4. Relateer snelheid en verplaatsing: In SHM is de snelheid (V) gerelateerd aan de verplaatsing (x) en hoekfrequentie (ω) door de vergelijking:

v =ω√ (a² - x²) waarbij a de amplitude van de oscillatie is.

5. Vervanging voor snelheid: Vervang de snelheidsvergelijking in de energievergelijking:

m (ω√ (a² - x²)) ² =kx²

6. Oplossen voor verplaatsing (x): Vereenvoudig en oplossen voor x:

mΩ² (a² - x²) =kx²

mω²a² =(k + mω²) x²

x² =(mω²a²)/(k + mΩ²)

x =√ [(mω²a²)/(k + mω²)]]

7. Relatie tussen ω en k/m: Bedenk dat de hoekfrequentie (ω) in SHM gerelateerd is aan de veerconstante (k) en massa (m) door:

ω =√ (k/m)

8. Vervanging voor ω: Vervang de uitdrukking voor ω in de verplaatsingsvergelijking:

x =√ [(m (k/m) a²)/(k + (k/m) m)]]

x =√ [(ka²)/(2k)]

x =√ (a²/2)

9. Eindresultaat: Daarom is de verplaatsing (x) van een eenvoudige harmonische oscillator wanneer zijn kinetische en potentiële energieën gelijk zijn:

x =a/√2

interpretatie

Dit resultaat toont aan dat wanneer de kinetische en potentiële energieën gelijk zijn in eenvoudige harmonische beweging, de verplaatsing gelijk is aan de amplitude van de oscillatie gedeeld door de vierkantswortel van 2. Met andere woorden, de verplaatsing is ongeveer 70,7% van de amplitude.