Afbeelding tegoed:diego_cervo/iStock/GettyImages

Trigonometrie kan abstract aanvoelen, maar de eenheidscirkel verandert deze mysteries in concrete geometrie. Door een cirkel met straal 1 op de oorsprong van een coördinatensysteem te plaatsen, wordt elke trigonometrische waarde eenvoudigweg de x- of y-coördinaat van een punt.

TL;DR

De eenheidscirkel heeft straal 1. Hoeken worden gemeten vanaf het punt (1,0) op de positieve x-as en nemen linksom toe. Voor elke hoekθ:

• sinθ =y-coördinaat van het punt op de cirkel
• cosθ =x‑coördinaat van het punt op de cirkel
• tanθ =y/x

Wat is de eenheidscirkel?

Een eenheidscirkel is eenvoudigweg een cirkel waarvan de straal precies één eenheid is. Die ene eenheid kan meters, voeten, inches zijn – welke maat dan ook; de sleutel is dat de straal 1 is. Hierdoor worden de omtrek en het gebied van de cirkel eenvoudige veelvouden van π, en worden veel trigonometrische formules teruggebracht tot zuivere getallen.

Plaats de cirkel zo dat het middelpunt ervan samenvalt met de oorsprong van een cartesiaans vlak. De cirkel snijdt de positieve x-as bij (1,0). Volgens afspraak beginnen we vanaf dat punt hoeken te meten en bewegen we tegen de klok in. Het punt (1,0) komt dus overeen met 0°, (0,1) tot 90°, (-1,0) tot 180° en (0,-1) tot 270° (of –90°).

De definities van sin en cos met de eenheidscirkel

In de basiscursussen worden sin, cos en tan geïntroduceerd via rechthoekige driehoeken:

\(\sin\theta =\frac{\text{tegenover}}{\text{hypotenusa}}\)
\(\cos\theta =\frac{\text{aangrenzend}}{\text{hypotenusa}}\)
\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

Op de eenheidscirkel is de hypotenusa altijd 1, dus de vergelijkingen worden vereenvoudigd tot:

\(\sin\theta =\text{tegenover}\)
\(\cos\theta =\text{aangrenzend}\)

Als we een straal tekenen die een hoek θ maakt met de positieve x-as, is de “tegenoverliggende” zijde de y-coördinaat en de “aangrenzende” zijde de x-coördinaat van het punt waar de straal de cirkel raakt. Bijgevolg is sinθ de y-coördinaat en cosθ de x-coördinaat. Dit verklaart waarom sin0°=0 en cos0°=1, of sin90°=1 en cos90°=0.

Negatieve hoeken worden op natuurlijke wijze verwerkt:een rotatie met de klok mee vanaf het startpunt deelt dezelfde x-coördinaat als de overeenkomstige positieve hoek, maar draait het teken van de y-coördinaat om. Vandaar:

\(\cos(-\theta) =\cos\theta\)
\(\sin(-\theta) =-\sin\theta\)

De definitie van bruinen met de eenheidscirkel

Met behulp van de cirkeldefinities van sin en cos vereenvoudigt tan de verhouding van de y-coördinaat tot de x-coördinaat:

\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{y}{x}\)

Deze vorm maakt duidelijk waarom tan ongedefinieerd is bij 90° (of 270°), waarbij x=0, omdat delen door nul onmogelijk is.

Trigonometrische functies grafisch tekenen

Wanneer u de eenheidscirkel bekijkt, varieert de x-coördinaat vloeiend van 1 naar –1 terwijl u van 0° naar 180° beweegt, en vervolgens weer omhoog naar 1 over 360°. De sinusfunctie volgt hetzelfde patroon, maar bereikt eerst zijn piek van 1 bij 90°. Daarom zijn sin en cos 90° uit fase. De raaklijn, zijnde de verhouding y/x, heeft verticale asymptoten waarbij x=0, waardoor het bekende herhalende patroon ontstaat met ongedefinieerde punten op oneven veelvouden van 90°.