science >> Wetenschap >  >> anders

Wat is een periodieke functie?

Een periodieke functie is een functie die zijn waarden herhaalt op regelmatige intervallen of "punten." Zie het als een hartslag of het onderliggende ritme in een nummer: het herhaalt dezelfde activiteit op een vaste verslaan. De grafiek van een periodieke functie lijkt erop dat een enkel patroon steeds opnieuw wordt herhaald.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Een periodieke functie herhaalt zijn waarden op regelmatige intervallen of "periodes."

Typen periodieke functies

De bekendste periodieke functies zijn goniometrische functies: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecant, enz. Andere voorbeelden van periodiek functies in de natuur omvatten lichtgolven, geluidsgolven en fasen van de maan. Elk van deze, wanneer getekend op het coördinaatvlak, maakt een herhalend patroon op hetzelfde interval, waardoor het gemakkelijk te voorspellen is.

De periode van een periodieke functie is het interval tussen twee "overeenstemmende" punten op de grafiek . Met andere woorden, het is de afstand langs de x-as die de functie moet afleggen voordat deze zijn patroon begint te herhalen. De basis sinus- en cosinusfuncties hebben een periode van 2π, terwijl tangens een periode van π heeft.

Een andere manier om periode en herhaling voor trig-functies te begrijpen, is erover na te denken in termen van de eenheidscirkel. Op de eenheidscirkel gaan waarden rond en rond de cirkel wanneer ze groter worden. Die herhaalde beweging is hetzelfde idee dat wordt weerspiegeld in het gestage patroon van een periodieke functie. En voor sinus en cosinus moet je een volledig pad maken rond de cirkel (2π) voordat de waarden beginnen te herhalen.

Vergelijking voor een periodieke functie

Er kan ook een periodieke functie worden gedefinieerd als een vergelijking met deze vorm:

f (x + nP) = f (x)

Waarbij P de periode is (een constante die niet nul is) en n een positief geheel getal is.

U kunt bijvoorbeeld de sinusfunctie op deze manier schrijven:

sin (x + 2π) = sin (x)

n = 1 in dit geval en de punt, P, want een sinusfunctie is 2π.

Test het door een aantal waarden voor x uit te proberen, of bekijk de grafiek: kies een x-waarde en verplaats dan 2π in beide richtingen langs de x-as ; de y-waarde moet hetzelfde blijven.

Probeer het nu als n = 2:

sin (x + 2 (2π)) = sin (x)

sin (x + 4π) = sin (x).

Bereken voor verschillende waarden van x: x = 0, x = π, x = π /2, of bekijk deze in de grafiek.

De cotangente functie volgt dezelfde regels, maar de periode is π radialen in plaats van 2π radialen, dus de grafiek en de vergelijking zien er als volgt uit:

Merk op dat raaklijn- en cotangente functies periodiek zijn, maar ze zijn niet continu: er zijn "pauzes" in hun grafieken.