science >> Wetenschap >  >> anders

Wat is een geometrische reeks?

In een geometrische reeks is elke term gelijk aan de vorige term maal een constante, niet-nul vermenigvuldiger die de gemeenschappelijke factor wordt genoemd. Geometrische sequenties kunnen een vast aantal termen bevatten, of ze kunnen oneindig zijn. In beide gevallen kunnen de termen van een geometrische reeks snel zeer groot, zeer negatief of zeer dicht bij nul worden. Vergeleken met rekenkundige sequenties veranderen de termen veel sneller, maar terwijl oneindige rekenkundige rijen gestaag toenemen of afnemen, kunnen geometrische reeksen de nul naderen, afhankelijk van de gemeenschappelijke factor.

TL; DR (te lang; niet Lezen)

Een geometrische reeks is een geordende lijst met getallen waarin elke term het product is van de vorige term en een vaste vermenigvuldiger zonder nul die de gemeenschappelijke factor wordt genoemd. Elke term van een geometrische reeks is het geometrische gemiddelde van de termen die eraan voorafgaan en erop volgen. Oneindige geometrische reeksen met een gemeenschappelijke factor tussen +1 en -1 benaderen de limiet van nul als termen worden toegevoegd, terwijl reeksen met een gemeenschappelijke factor groter dan +1 of kleiner dan -1 naar plus of min oneindig gaan.

Hoe geometrische reeksen werken

Een geometrische reeks wordt gedefinieerd door het beginnummer a, de gemeenschappelijke factor r en het aantal termen S. De overeenkomstige algemene vorm van een geometrische reeks is:
a, ar, ar 2, ar 3 ... ar S-1.

De algemene formule voor term n van een geometrische reeks (dwz elke term binnen die reeks) is:
a n = ar n-1.

De recursieve formule, die een term definieert met betrekking tot de vorige term, is:
a n = ra n-1

Een voorbeeld van een geometrische reeks met startnummer 3, gemeenschappelijke factor 2 en acht termen is 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Berekening van de laatste term met behulp van de algemene vorm hierboven vermeld, de term is:

a 8 = 3 × 2 8-1 = 3 × 2 7 = 3 × 128 = 384.

Gebruik van de algemene formule voor term 4:

a 4 = 3 × 2 4-1 = 3 × 2 3 = 24.

Als je wilt de recursieve formule gebruiken voor term 5, dan term 4 = 24 en een 5 is gelijk aan:

a 5 = 2 × 24 = 48.

Geometrisch Sequentie-eigenschappen

Geometrische sequenties hebben speciale eigenschappen voor zover het het geometrische gemiddelde betreft. Het geometrische gemiddelde van twee getallen is de vierkantswortel van hun product. Het geometrische gemiddelde van 5 en 20 is bijvoorbeeld 10 omdat het product 5 × 20 = 100 en de vierkantswortel van 100 is 10.

In geometrische reeksen is elke term het geometrische gemiddelde van de term ervoor en de term erna. Bijvoorbeeld, in de reeks 3, 6, 12 ... hierboven is 6 het geometrische gemiddelde van 3 en 12, 12 is het geometrische gemiddelde van 6 en 24, en 24 is het geometrische gemiddelde van 12 en 48.

Andere eigenschappen van geometrische sequenties zijn afhankelijk van de gemeenschappelijke factor. Als de gemeenschappelijke factor r groter is dan 1, naderen oneindige geometrische reeksen positieve oneindigheid. Als r tussen 0 en 1 ligt, naderen de sequenties nul. Als r tussen nul en -1 ligt, naderen de reeksen nul, maar de termen wisselen af ​​tussen positieve en negatieve waarden. Als r minder dan -1 is, zullen de termen zowel positief als negatief oneindig zijn naarmate ze afwisselen tussen positieve en negatieve waarden.

Geometrische sequenties en hun eigenschappen zijn vooral handig in wetenschappelijke en mathematische modellen van echte wereldprocessen . Het gebruik van specifieke sequenties kan helpen bij de studie van populaties die met een vaste snelheid groeien gedurende bepaalde perioden of investeringen die rente verdienen. De algemene en recursieve formules maken het mogelijk om in de toekomst nauwkeurige waarden te voorspellen op basis van het startpunt en de gemeenschappelijke factor.