science >> Wetenschap >  >> anders

Hoe de inverse van een functie te vinden

Om een ​​inverse functie in wiskunde te vinden, moet je eerst een functie hebben. Het kan bijna elke set bewerkingen zijn voor de onafhankelijke variabele x die een waarde oplevert voor de afhankelijke variabele y. Over het algemeen, om de inverse van een functie van x te bepalen, vervangt u y door x en x door y in de functie en lost u op voor x.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Over het algemeen, om de inverse van een functie van x te vinden, vervang y door x en x door y in de functie, los dan op voor x.

Inverse functie gedefinieerd

De mathematische definitie van een functie is een relatie (x, y) waarvoor slechts één waarde van y bestaat voor elke waarde van x. Als de waarde van x bijvoorbeeld 3 is, is de relatie een functie als y slechts één waarde heeft, zoals 10. De inverse van een functie neemt de y-waarden van de oorspronkelijke functie als zijn eigen x-waarden en produceert y-waarden dat zijn de x-waarden van de originele functie. Als de oorspronkelijke functie bijvoorbeeld de y-waarden 1, 3 en 10 retourneerde wanneer de x-variabele de waarden 0, 1 en 2 had, retourneerde de inverse functie y-waarden 0, 1 en 2 als de x-variabele de waarden 1 had, 3 en 10. In wezen wisselt een inverse functie de x- en y-waarden van het origineel om. In de wiskundige taal, als de oorspronkelijke functie f (x) is en de inverse g (x) is, dan is g (f (x)) = x.

Algebra-benadering voor inverse functie

Als u de inverse van een functie met de twee variabelen x en y wilt vinden, vervangt u de x-termen door y en de y-termen door x en lost u x op. Neem als voorbeeld de lineaire vergelijking, y = 7x - 15.

y = 7x - 15 Oorspronkelijke functie
x = 7y - 15 Vervang y door x en x door y.
x + 15 = 7y - 15 + 15 Voeg aan beide zijden 15 toe.
x + 15 = 7y Vereenvoudig
(x + 15) /7 = 7y /7 Deel beide kanten op door 7.
(x + 15) /7 = y Vereenvoudig

De functie, (x + 15) /7 = y is het omgekeerde van het origineel.

Inverse trigonometrische functies

Om het omgekeerde van te vinden een trigonometrische functie, het loont om te weten over alle trig functies en hun inverses. Als u bijvoorbeeld de inverse van y = sin (x) wilt vinden, moet u weten dat de inverse van de sinusfunctie de arcsinefunctie is; geen eenvoudige algebra zal je daarheen brengen zonder arcsin (x). De andere trig functies, cosinus, tangens, cosecant, secant en cotangens, hebben respectievelijk de inverse functies arccosine, arctangent, arccosecant, arcsecant en arccotangent. Bijvoorbeeld, de inverse van y = cos (x) is y = arccos (x).

Grafiek van functie en inverse

De grafiek van een functie en zijn inverse is interessant. Wanneer u de twee curven plot en vervolgens een lijn tekent die overeenkomt met de functie, y = x, ziet u dat de lijn wordt weergegeven als een "spiegel". Elke curve of lijn onder y = x wordt symmetrisch "weerspiegeld" erboven. Dit geldt voor elke functie, of deze nu polynomiaal, trigonometrisch, exponentieel of lineair is. Aan de hand van dit principe kunt u de inverse van een functie grafisch illustreren door de oorspronkelijke functie uit te lijnen, de lijn op y = x te tekenen en vervolgens de curven of lijnen te tekenen die nodig zijn om een ​​"spiegelbeeld" te maken met y = x als een as van symmetrie.