science >> Wetenschap >  >> Fysica

Maxwell-Boltzmann Distributie: functie, afleiding & voorbeelden

Het beschrijven van wat er gebeurt met zeer kleine deeltjes is een uitdaging in de fysica. Niet alleen is hun grootte moeilijk om mee te werken, maar in de meeste dagelijkse toepassingen heb je niet te maken met een enkel deeltje, maar ontelbare veel van hen werken allemaal met elkaar samen.

gaan langs elkaar heen, maar zitten in plaats daarvan vrijwel vast. Vaste stoffen kunnen echter uitzetten en samentrekken met temperatuurschommelingen en ondergaan in bepaalde situaties soms zelfs interessante veranderingen in kristallijne structuren.

In vloeistoffen kunnen deeltjes vrij langs elkaar bewegen. Wetenschappers zijn echter niet geneigd vloeistoffen te bestuderen door bij te houden wat elke afzonderlijke molecule doet. In plaats daarvan kijken ze naar grotere eigenschappen van het geheel, zoals viscositeit, dichtheid en druk.

Net als bij vloeistoffen, kunnen de deeltjes in een gas ook langs elkaar bewegen. In feite kunnen gassen dramatische volumeveranderingen ondergaan vanwege verschillen in temperatuur en druk.

Nogmaals, het heeft geen zin om een gas te bestuderen door bij te houden wat elke afzonderlijke gasmolecule doet, zelfs bij thermisch evenwicht. Het zou niet haalbaar zijn, vooral als je bedenkt dat zelfs in de ruimte van een leeg drinkglas er ongeveer 10 22 luchtmoleculen zijn. Er is zelfs geen computer die krachtig genoeg is om een simulatie te maken van zoveel interactie-moleculen. In plaats daarvan gebruiken wetenschappers macroscopische eigenschappen zoals druk, volume en temperatuur om gassen te bestuderen en nauwkeurige voorspellingen te doen.
Wat is een ideaal gas?

Het type gas dat het gemakkelijkst te analyseren is, is een ideaal gas. Het is ideaal omdat het zorgt voor bepaalde vereenvoudigingen die de fysica veel gemakkelijker te begrijpen maken. Veel gassen bij standaardtemperaturen en -drukken werken ongeveer als ideale gassen, wat de studie ervan ook nuttig maakt.

In een ideaal gas wordt aangenomen dat de gasmoleculen zelf botsen in perfect elastische botsingen zodat u niet hoeft zich geen zorgen te maken over de energie veranderende vorm als gevolg van dergelijke botsingen. Er wordt ook aangenomen dat de moleculen erg ver van elkaar verwijderd zijn, wat in wezen betekent dat je je geen zorgen hoeft te maken dat ze met elkaar vechten voor ruimte en ze kunnen behandelen als puntdeeltjes. Ideale gassen zijn ook niet te warm en niet te koud, dus u hoeft zich geen zorgen te maken over effecten zoals ionisatie of kwantumeffecten.

Vanaf hier kunnen de gasdeeltjes worden behandeld als kleine puntdeeltjes die binnen rond stuiteren hun container. Maar zelfs met deze vereenvoudiging is het nog steeds niet haalbaar om gassen te begrijpen door bij te houden wat elk individueel deeltje doet. Wetenschappers kunnen echter wel wiskundige modellen ontwikkelen die de relaties tussen macroscopische grootheden beschrijven.
De ideale gaswet

De ideale gaswet heeft betrekking op de druk, het volume en de temperatuur van een ideaal gas. De druk P
van een gas is de kracht per oppervlakte-eenheid die het uitoefent op de wanden van de container waarin het zich bevindt. De SI-eenheid van druk is de pascal (Pa) waar 1Pa \u003d 1N /m 2. Het volume V
van het gas is de hoeveelheid ruimte die het inneemt in SI-eenheden van m 3. En de temperatuur T
van het gas is een maat voor de gemiddelde kinetische energie per molecuul, gemeten in SI-eenheden van Kelvin.

De vergelijking die de ideale gaswet beschrijft, kan als volgt worden geschreven:
PV \u003d NkT

Waar N
het aantal moleculen of aantal deeltjes is en de Boltzmann-constante k
\u003d 1.38064852 × 10 -23 kgm 2 /s 2K.

Een gelijkwaardige formulering van deze wet is:

Waar n
het aantal mol is, en de universele gasconstante R
\u003d 8.3145 J /molK.

Deze twee uitdrukkingen zijn equivalent. Welke u wilt gebruiken, hangt gewoon af van of u het aantal moleculen in mol of aantal moleculen meet.


Tips

  • 1 mol \u003d 6.022 × 10 23 moleculen, wat het getal van Avogadro is.


    Kinetische Theorie van Gassen

    Zodra een gas als ideaal is benaderd, kunt u een aanvullende vereenvoudiging maken. Dat wil zeggen, in plaats van de exacte fysica van elk molecuul te overwegen - wat onmogelijk zou zijn vanwege hun grote aantal - worden ze behandeld alsof hun bewegingen willekeurig zijn. Hierdoor kunnen statistieken worden toegepast om te begrijpen wat er aan de hand is.

    In de 19e eeuw ontwikkelden fysici James Clerk Maxwell en Ludwig Boltzmann de kinetische theorie van gassen op basis van de beschreven vereenvoudigingen.

    Klassiek kan aan elk molecuul in een gas een kinetische energie worden toegeschreven in de vorm:
    E_ {kin} \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2

    Niet elk molecuul in het gas, echter, heeft dezelfde kinetische energie omdat ze constant botsen. De exacte verdeling van de kinetische energieën van de moleculen wordt gegeven door de verdeling van Maxwell-Boltzmann.
    Statistieken van Maxwell-Boltzmann

    Statistieken van Maxwell-Boltzmann beschrijven de verdeling van ideale gasmoleculen over verschillende energietoestanden. De functie die deze verdeling beschrijft is als volgt:
    f (E) \u003d \\ frac {1} {Ae ^ {\\ frac {E} {kT}}}

    Waar A
    is een normalisatieconstante, E
    is energie, k
    is de constante van Boltzmann en T
    is temperatuur.

    Verdere veronderstellingen om deze functie te verkrijgen zijn dat, vanwege hun punt-deeltjes aard, is er geen limiet aan hoeveel deeltjes een bepaalde toestand kunnen bezetten. Ook neemt de verdeling van deeltjes over energietoestanden noodzakelijkerwijs de meest waarschijnlijke verdeling aan (met een groter aantal deeltjes wordt de kans dat het gas niet dicht bij deze verdeling ligt steeds kleiner). En ten slotte zijn alle energietoestanden even waarschijnlijk.

    Deze statistieken werken omdat het uiterst onwaarschijnlijk is dat een bepaald deeltje kan eindigen met een energie die aanzienlijk boven het gemiddelde ligt. Als dat zo was, zou dat de rest van de totale energie veel minder mogelijkheden bieden om te worden verdeeld. Het komt neer op een getallenspel - omdat er veel meer energietoestanden zijn die geen deeltje ver boven het gemiddelde hebben, is de kans dat het systeem zich in een dergelijke staat bevindt, verdwijnend klein.

    Echter, energieën lager dan het gemiddelde waarschijnlijker is, opnieuw vanwege de waarschijnlijkheid van de kansen. Aangezien alle beweging als willekeurig wordt beschouwd en er een groter aantal manieren is waarop een deeltje in een energiezuinige toestand terecht kan komen, hebben deze toestanden de voorkeur.
    De distributie van Maxwell-Boltzmann

    De distributie van Maxwell-Boltzmann is de verdeling van de snelheden van ideale gasdeeltjes. Deze snelheidsverdelingsfunctie kan worden afgeleid uit de Maxwell-Boltzmann-statistieken en worden gebruikt om relaties af te leiden tussen druk, volume en temperatuur.

    De verdeling van de snelheid v
    wordt gegeven door de volgende formule:
    f (v) \u003d 4 \\ pi \\ Big [\\ frac {m} {2 \\ pi kT} \\ Big] ^ {3/2} v ^ 2e ^ {[\\ frac {-mv ^ 2} {2kT }]}

    Waar m
    de massa van een molecuul is.

    De bijbehorende verdelingscurve, met de snelheidsverdelingsfunctie op de y
    -as en de moleculaire snelheid op de x
    -as, ziet er als volgt uit:

    [afbeelding]

    Het heeft een piekwaarde op de meest waarschijnlijke snelheid v p
    , en een gemiddelde snelheid gegeven door:
    v_ {avg} \u003d \\ sqrt {\\ frac {8kT} {\\ pi m}}

    Merk ook op hoe het een lange smalle staart heeft. De curve verandert enigszins bij verschillende temperaturen, waarbij de lange staart bij hogere temperaturen "dikker" wordt.
    Voorbeelden van toepassingen

    Gebruik de relatie:
    E_ {int} \u003d N \\ keer KE_ {avg } \u003d \\ frac {3} {2} NkT

    Waar E int
    de interne energie is, KE
    avg
    is de gemiddelde kinetische energie per molecuul uit de distributie van Maxwell-Boltzmann. Samen met de ideale gaswet is het mogelijk om een relatie te krijgen tussen druk en volume in termen van moleculaire beweging:
    PV \u003d \\ frac {2} {3} N \\ keer KE_ {avg}